Lineaire ongelijkheden in wiskunde HAVO
Stel je voor dat je een vergelijking oplost en ineens staat er een groter-dan-teken in plaats van een gelijk-teken. Dat is precies waar lineaire ongelijkheden om draaien. In dit hoofdstuk van wiskunde HAVO leer je hoe je zulke ongelijkheden stap voor stap oplost, net als bij vergelijkingen, maar met een paar belangrijke extra regels. Dit komt vaak voor in je toetsen en eindexamens, bijvoorbeeld in woordproblemen over budgetten of snelheden. Begrijp je dit goed, dan scoor je makkelijk punten, want het is vaak een kwestie van logisch denken en letten op details.
Een lineaire ongelijkheid ziet eruit als een lineaire vergelijking, maar met ongelijkheidsymbolen zoals kleiner dan (<), groter dan (>), kleiner dan of gelijk aan (≤) of groter dan of gelijk aan (≥). Denk aan iets als 2x + 5 > 7 of -3x ≤ 12. De variabele, meestal x, staat op graad 1, dus geen kwadraten of andere gedoe. Het doel is om de waarden van x te vinden die de ongelijkheid waar maken. Anders dan bij vergelijkingen, die één oplossing hebben, geeft een ongelijkheid een heel bereik van oplossingen, zoals alle x groter dan 2.
Hoe los je een lineaire ongelijkheid op?
Het oplossen gaat bijna hetzelfde als bij een lineaire vergelijking: je isoleert de variabele door termen weg te tellen of te vermenigvuldigen. Maar er is één cruciaal verschil: als je vermenigvuldigt of deelt met een negatief getal, draai je het ongelijkheids teken om. Waarom? Omdat een negatief getal de volgorde van getallen verandert. Bijvoorbeeld, als je 4 > 2 hebt en met -1 vermenigvuldigt, wordt het -4 < -2, zie je dat het teken draait?
Laten we een eenvoudig voorbeeld nemen. Stel je hebt 3x - 4 < 8. Eerst tel je 4 op bij beide kanten: 3x < 12. Dan deel je door 3: x < 4. Klaar, alle x kleiner dan 4 werken. Probeer het eens uit: als x = 3, dan 33 - 4 = 5, en 5 < 8 is waar. Maar x = 5 geeft 35 - 4 = 11, en 11 < 8 is niet waar.
Nu een met een negatief getal, want dat is waar veel scholieren struikelen. Neem -2x + 1 ≥ 5. Eerst trek je 1 af: -2x ≥ 4. Nu deel je door -2, dus teken omdraaien: x ≤ -2. Controleer: x = -3 geeft -2*(-3) + 1 = 7, en 7 ≥ 5 klopt. x = 0 geeft 1 ≥ 5? Nee. Zie je hoe dat omdraaien essentieel is?
Lineaire ongelijkheden met haakjes uitwerken
Vaak staan er haakjes in, net als bij vergelijkingen. Je zet ze altijd weg met het verdeel- en heers-principe. Bijvoorbeeld, 2(x + 3) > 4x - 6. Eerst haakjes weg: 2x + 6 > 4x - 6. Tel 6 op bij beide kanten? Nee, beter trek je 2x af en tel je 6 op: 12 > 2x, dus 6 > x of x < 6. Fijn dat het positief bleef, geen omdraaien nodig.
Een lastiger geval: 3(2x - 1) ≤ -x + 7. Haakjes uitwerken: 6x - 3 ≤ -x + 7. Tel x op aan beide kanten: 7x - 3 ≤ 7. Tel 3 op: 7x ≤ 10. Deel door 7: x ≤ 10/7, dat is ongeveer 1,43. Op het examen schrijf je het als breuk: x ≤ 10/7. Test met x = 1: 3(2*1 -1) = 3 ≤ -1 +7 =6, ja 3≤6. x=2: 3(4-1)=9 ≤ -2+7=5? 9≤5 nee.
Getalstraject en bolletjes tonen
Op examens moet je de oplossing vaak als getalstraject tekenen. Dat is een rechte lijn met een bolletje of cirkel op de grens en een pijl voor het bereik. Voor x > 2 teken je een open bolletje op 2 (want niet gelijk) en pijl naar rechts. Bij x ≥ 3 een gesloten bolletje op 3 en pijl rechts. Voor x < -1 open bolletje op -1, pijl links. Oefen dit, want het is een vast punt in HAVO-examens.
Stelsels van lineaire ongelijkheden
Soms krijg je meerdere ongelijkheden tegelijk, een stelsel. Je lost ze apart op en neemt het snijpunt van de bereiken. Bijvoorbeeld, x + 2 > 5 dus x > 3, en 2x ≤ 8 dus x ≤ 4. Samen: 3 < x ≤ 4. Teken het op een getalstraject: open bol op 3, gesloten op 4, streep ertussen. Woordprobleem: Je hebt ten minste 10 euro nodig (x ≥ 10) maar maximaal 15 (x ≤ 15). Simpel, maar in examens zit het vaak verstopt in een verhaal.
Woordproblemen met lineaire ongelijkheden
Dit is waar het echt praktisch wordt. Stel, je fietst met snelheid x km/u en je wilt in minder dan 2 uur 30 km afleggen: 30/x < 2, dus x > 15. Of een budget: je koopt appels à 2 euro en bananen à 1,50, totaal minder dan 20 euro: 2a + 1,5b < 20. Maar vaak lossen we één variabele op. Oefen met: "De kosten c = 5x + 10 ≤ 50, hoeveel x maximaal?" Trek 10 af: 5x ≤ 40, x ≤ 8.
Tips voor je examen wiskunde HAVO
Controleer altijd je oplossing door een testpunt in te vullen, vooral bij negatieve coëfficiënten. Schrijf alle stappen netjes uit, want partiële punten tellen mee. Herinner je: positief = teken hetzelfde, negatief = omdraaien. Maak veel oefenopgaven, want na een paar keer klikt het. Met deze uitleg lineaire ongelijkheden ben je er klaar voor om die examenopgaven te rocken. Succes met leren en oefenen!