Lichtsnelheid meten met het Fizeau-experiment, VWO Natuurkunde examen 2014 tijdvak 2, opgave 2
Stel je voor dat je in de 19e eeuw leeft en je wilt bewijzen dat licht een eindige snelheid heeft, iets wat destijds nog niet helemaal duidelijk was. Hippolyte Fizeau deed precies dat in 1849 met een slim optisch experiment dat je nu tegenkomt in het VWO-examen Natuurkunde van 2014, tijdvak 2, opgave 2. Dit is een klassieker voor het meten van de lichtsnelheid, en het combineert mechanica, optica en golffysica op een manier die perfect past bij je eindexamenvoorbereiding. In deze opgave ga je aan de slag met een roterend tandrad, een verre spiegel en een lensopstelling, en je berekent stap voor stap hoe Fizeau de lichtsnelheid vond. Het mooie is dat je met basisbegrippen als frequentie, omlooptijd en brandpuntsafstand al ver komt, en ik leg het hier uit alsof we samen de opgave doornemen, zodat je het zelf kunt reproduceren op je toets.
Hoe werkt het Fizeau-experiment?
Fizeau's setup is geniaal eenvoudig maar vereist precisie. Er staat een lichtbron die een smalle lichtstraal afgeeft, die door een spleet tussen twee tanden van een snel roterend tandrad schijnt. Dat tandrad heeft een flink aantal tanden, zeg N tanden, en draait met een bepaalde frequentie f, uitgedrukt in hertz (Hz), waarbij 1 Hz betekent dat het per seconde één volledige omwenteling maakt. De omlooptijd T is dan gewoon de tijd voor één omwenteling, dus T = 1/f. Het licht passeert de spleet, wordt door een lens evenwijdig gemaakt, denk aan een collimerende lens die het licht focust op het brandpunt en dan als een parallelle bundel uitzendt, en reist dan een grote afstand, vaak duizenden meters, naar een vlakke spiegel. Die spiegel kaatst het licht precies terug langs dezelfde weg.
Terug bij het tandrad moet het licht weer door een spleet passen om waargenomen te worden. Als het tandrad langzaam draait, zie je het licht knipperen met de frequentie van de rotatie, vermenigvuldigd met het aantal tanden. Maar zodra de draaisnelheid toeneemt, verschuift de tandradpositie tijdens de heen- en terugreis van het licht. Op een bepaald kritiek moment blokkeert een tand het terugkerende licht precies, en wordt het donker. Dat moment geeft de sleutel tot de lichtsnelheid. De tijd die het licht nodig heeft voor de heen- en terugreis over afstand 2d (heen d, terug d) is precies gelijk aan de tijd die het tandrad nodig heeft om één tand verder te draaien, oftewel 1/(N f). Dus de tijd τ = 2d / c = 1/(N f), waar c de lichtsnelheid is. Daaruit volgt direct c = 2d N f. In de opgave van 2014 zit een twist met de lens en verlichtingssterkte, maar de kernformule blijft hetzelfde, en je moet goed opletten op de frequentie en omlooptijd.
Rol van de lens en optische begrippen in de opgave
In deze examenopgave speelt de lens een cruciale rol, want zonder haar zou de lichtbundel te breed verspreiden over de enorme afstand. De lens concentreert de lichtstralen tot een evenwijdige bundel die convergeert op het brandpunt. De brandpuntsafstand f_lens is de afstand van de lens tot het vlak waar een ver object scherp gefocusseerd wordt, in dit geval helpt het om het licht van de bron op de juiste manier te bundelen. Stel je voor: de lichtbron zit in of nabij het brandpunt van de lens, zodat de uitgaande stralen parallel zijn en perfect op de spiegel vallen. Bij terugkomst divergeert de bundel niet te veel en past weer door de spleet.
Je komt ook de brekingsindex tegen, want het tandrad is vaak van glas gemaakt, en licht breekt licht op de overgangen tussen tand en spleet. De brekingsindex n geeft aan hoe sterk licht afbuigt op een grensvlak, als verhouding van snelheden of sinussen. In de opgave helpt dit misschien om de effectieve lichtsnelheid in het materiaal te berekenen, maar meestal blijft het bij vacuümsnelheid c, die voor alle elektromagnetische straling gelijk is. De verlichtingssterkte komt om de hoek kijken bij het meten van het ontvangen licht: het is de lichtstroom per oppervlakte-eenheid, in lux (Lx), en geeft aan hoe fel het terugkerende licht is. In de opgave analyseer je waarschijnlijk waarom de verlichtingssterkte afneemt met hogere frequenties of hoekafwijkingen, en dat linkt direct aan de precisie van de meting.
Stap voor stap de berekeningen uitwerken
Laten we nu praktisch worden, zoals in de echte opgave. Veronderstel dat de afstand tot de spiegel d = 8630 meter is, zoals Fizeau gebruikte, en het tandrad heeft N = 720 tanden. Bij het donker-worden-moment draait het met f = 12,6 Hz. Dan is de omlooptijd T = 1/f ≈ 0,079 s, en de tijd per tand 1/(N f) ≈ 1/(720 × 12,6) ≈ 1,1 × 10^{-4} s. De heen-terug tijd is dus 2d/c = die waarde, dus c = 2d / (1/(N f)) = 2 × 8630 / 1,1 × 10^{-4} ≈ 3,13 × 10^8 m/s, dicht bij de echte waarde! In de examenopgave vul je zelf de getallen in, en let op eenheden: frequentie altijd in Hz, afstand in meter, tijd in seconden.
Vaak vraagt de opgave naar de minimale verlichtingssterkte of hoe de frequentie de waargenomen helderheid beïnvloedt. Denk na: bij hogere f wordt het donkerder omdat de spleet-effectieve breedte kleiner lijkt door de rotatie. De verlichtingssterkte E is dan evenredig met de tijd dat licht doorlaat, zeg E ∝ 1/f. Je kunt dit toetsen door te berekenen wat gebeurt als f verdubbelt: de lichtsnelheid lijkt dan dubbel zo groot, maar nee, je past de formule aan. Oefen met variaties: wat als de spiegel niet perfect vlak is, of de lens een andere brandpuntsafstand heeft? Dat verschuift het brandpunt en dus de bundelalignatie.
Veelgemaakte valkuilen en tips voor je examen
Bij het voorbereiden op deze opgave trap je makkelijk in de val om de factor 2 te vergeten, het is heen én terug, dus 2d. Ook de frequentie: is f de rotatiefrequentie of de knipperfrequentie? Het is de rotatie in Hz, en vermenigvuldig met N tanden voor de effectieve puls. Check altijd of de brekingsindex speelt; in glas is n ≈ 1,5, dus lichtsnelheid daar c/n, maar voor de meting telt de vacuümpad. Maak het jezelf makkelijk door de formule c = 4 π d N / T te onthouden als T de omlooptijd is (want 2 × 2π r / omtrek, nee, beter bij N f blijven). Dit experiment toont mooi aan waarom lichtsnelheid constant is, onafhankelijk van frequentie, een voorproefje op relativiteit.
Probeer nu zelf: neem de waarden uit je examenbundel en reken c uit. Vergelijk met 3 × 10^8 m/s en zie Fizeau's nauwkeurigheid. Zo word je niet alleen klaar voor 2014 opgave 2, maar ook voor soortgelijke vragen in andere examens. Succes met oefenen, je beheerst dit straks helemaal!